如图,已知椭圆
[imath]C_{1}:\dfrac{x^{2}}{2}+y^{2}=1[/imath]
,抛物线
[imath]C_{2}:y^{2}=2px(p>0)[/imath]
,点
[imath]A[/imath]
是椭圆
[imath]C_{1}[/imath]
与抛物线
[imath]C_{2}[/imath]
的交点,过点
[imath]A[/imath]
的直线
[imath]l[/imath]
交椭圆
[imath]C_{1}[/imath]
于点
[imath]B[/imath]
,交抛物线
[imath]C_{2}[/imath]
于
[imath]M[/imath]
(
[imath]B[/imath]
,
[imath]M[/imath]
不同于
[imath]A[/imath]
).
1、若
[imath]p=\dfrac{1}{16}[/imath]
,求抛物线
[imath]C_{2}[/imath]
的焦点坐标.
2、若存在不过原点的直线
[imath]l[/imath]
使
[imath]M[/imath]
为线段
[imath]AB[/imath]
的中点,求
[imath]p[/imath]
的最大值.
解析
1、抛物线
[imath]C_2[/imath]
的焦点坐标为
[imath]\left(\dfrac p2,0\right)[/imath]
,即
[imath]\left(\dfrac{1}{32},0\right).[/imath]
2、设
[imath]A(2pa^2,2pa),M(2pm^2,2pm)[/imath]
,则直线
[imath]AM[/imath]
的斜率为
[imath]\dfrac{1}{a+m}[/imath]
,直线
[imath]OM[/imath]
的斜率为
[imath]\dfrac 1m[/imath]
.结合点
[imath]A[/imath]
在椭圆
[imath]C_1[/imath]
上,根据椭圆的垂径定理,有
[imath]M[/imath]
平分
[imath]AB[/imath]
等价于
[math]
\begin{cases} \dfrac 1m\cdot \dfrac{1}{a+m}=-\dfrac 12,\\ \dfrac{(2pa^2)^2}{2}+(2pa)^2=1,\\ \dfrac{(2pm^2)^2}{2}+(2pm)^2<1, \end{cases}
[/math]
由第一个方程解得
[imath]a=-\left(m+\dfrac 2m\right)[/imath]
,于是
[imath]a^2\geqslant 8[/imath]
(等号当
[imath]m=\pm \sqrt 2[/imath]
时取得).进而由第二个方程可得
[math]
p=\dfrac{1}{\sqrt{2(a^4+2a^2)}}\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2(8^2+2\cdot 8)}}=\dfrac{\sqrt{10}}{40},
[/math]
等号当
[imath] (a,m)=\left(\pm 2\sqrt 2,\mp \sqrt 2\right)[/imath]
时可以取得.因此
[imath]p[/imath]
的最大值为
[imath]\dfrac{\sqrt{10}}{40}.[/imath]