如图，已知椭圆 [imath]C_{1}:\dfrac{x^{2}}{2}+y^{2}=1[/imath] ，抛物线 [imath]C_{2}:y^{2}=2px（p>0）[/imath] ，点 [imath]A[/imath] 是椭圆 [imath]C_{1}[/imath] 与抛物线 [imath]C_{2}[/imath] 的交点，过点 [imath]A[/imath] 的直线 [imath]l[/imath] 交椭圆 [imath]C_{1}[/imath] 于点 [imath]B[/imath] ，交抛物线 [imath]C_{2}[/imath] 于 [imath]M[/imath] （ [imath]B[/imath] , [imath]M[/imath] 不同于 [imath]A[/imath] ）．

1、若 [imath]p=\dfrac{1}{16}[/imath] ，求抛物线 [imath]C_{2}[/imath] 的焦点坐标．

2、若存在不过原点的直线 [imath]l[/imath] 使 [imath]M[/imath] 为线段 [imath]AB[/imath] 的中点，求 [imath]p[/imath] 的最大值．

解析

1、抛物线 [imath]C_2[/imath] 的焦点坐标为 [imath]\left(\dfrac p2,0\right)[/imath] ，即 [imath]\left(\dfrac{1}{32},0\right)．[/imath]

2、设 [imath]A(2pa^2,2pa)，M(2pm^2,2pm)[/imath] ，则直线 [imath]AM[/imath] 的斜率为 [imath]\dfrac{1}{a+m}[/imath] ，直线 [imath]OM[/imath] 的斜率为 [imath]\dfrac 1m[/imath] ．结合点 [imath]A[/imath] 在椭圆 [imath]C_1[/imath] 上，根据椭圆的垂径定理，有 [imath]M[/imath] 平分 [imath]AB[/imath] 等价于
[math] \begin{cases} \dfrac 1m\cdot \dfrac{1}{a+m}=-\dfrac 12,\\ \dfrac{(2pa^2)^2}{2}+(2pa)^2=1,\\ \dfrac{(2pm^2)^2}{2}+(2pm)^2<1, \end{cases} [/math]
由第一个方程解得 [imath]a=-\left(m+\dfrac 2m\right)[/imath] ，于是 [imath]a^2\geqslant 8[/imath] （等号当 [imath]m=\pm \sqrt 2[/imath] 时取得）．进而由第二个方程可得
[math] p=\dfrac{1}{\sqrt{2(a^4+2a^2)}}\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2(8^2+2\cdot 8)}}=\dfrac{\sqrt{10}}{40}, [/math]
等号当 [imath] (a,m)=\left(\pm 2\sqrt 2,\mp \sqrt 2\right)[/imath] 时可以取得．因此 [imath]p[/imath] 的最大值为 [imath]\dfrac{\sqrt{10}}{40}．[/imath]